Subiect Tip 2 - Algebra

Permutari - Teorie 1

Permutare. Permutarea identica. Transpozitie. Forma generala. Proprietati. Compunerea permutarilor. Proprietati. Inversa unei permutari.    
1-Permutari ; 2-Permutarea identica ; 3-Transpozitia ; 4-Proprietati ; 5-Compunerea permutarilor ; 6-Inversa unei permutari

Permutari - Teorie 2

Puterea unei permutari. Scrierea unei permutari ca produs de transpozitii. Exemplu. Inversa unei permutari. Semnul unei permutari. Permutare para / impara. Semn produs. Transpozitia impara. Aplicatie.
1-Puterea unei permutari ; 2-Scrierea unei permutari ca produs de transpozitii ; 3-Inversa unei permutari ; 4-Exercitiu

Permutari - Probleme 1

Pornind de la doua permutari, sa se calculeze semnul produsului si inversa produsului. Ecuatii cu permutari.

Matrice - Teorie 1

Definitie matrice. Tipuri de matrice. Adunarea matricelor. Inmultirea cu scalari a unei matrice. Proprietatile adunarii. Matricea nula. Egalitatea matricelor. Proprietatile inmultirii cu scalari. Exemple.
1-Definitie matrice ; 2-Tipuri de matrice ; 3-Adunarea matricelor ; 4-Inmultirea cu scalari a unei matrice ; 5-Propritatile operatiilor cu matrice ; 6-Proprietatile inmultirii cu scalari

Matrice - Teorie 2

Inmultirea matricelor. Exemplu. Proprietatile inmultirii matricelor. Exemple.
1-Inmultirea matricelor ; 2-Proprietatile inmultirii matricelor.

Matrice - Teorie 3

Exemplu inmultire comutativa a matricelor. Puterile unei matrice. Comutativitatea puterilor. Transpusa unei matrice. Relatia lui Hamilton-Cayley.   
1-Exemplu inmultire comutativa a matricelor ; 2-Puterile unei matrice ; 3-Transpusa unei matrice ; 4-Relatia lui Hamilton-Cayley

Matrice - Probleme 1

Sa se calculeze A la n. Matrice cu functii trigonometrice (A la n). Sa se calculeze anumite puteri ale lui A.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Problema 3

Matrice - Probleme 2

Sa se calculeze A la n. Matrice cu parametri (sa se calculeze suma matricelor).
1-Problema 1 ; 2-Problema 2

Matricea inversabila - Teorie 1

Definitie matrice inversabila. observatii si proprietati ale matricei inversabile (singulara, nesingulara). Teorema. Matrice adjuncta. Determinarea matricei inversabile. Teorema.  
1-Definitie ; 2-Observatii/Proprietati ; 3-Teorema ; 4-Determinarea matricei inversabile ; 5-Exemplu

Matricea inversabila - Probleme 1

Sa se determine X din AX=B. Sa se determine m real astfel incat A sa fie inversabila. Sa se arate ca exista o singura valoare a lui x astfel incat A sa nu fie inversabila.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Problema 3

Determinanti - Teorie 1

Determinanti. Definitie. Forma generala. Regula lui Sarrus pentru calculare.

Determinanti - Teorie 2

Dezvoltarea unui determinant dupa o linie sau o coloana. Proprietatile determinantilor.
1-Dezvoltarea unui determinant dupa o linie sau o coloana ; 2-Proprietatile determinantilor

Determinanti - Teorie 3

Proprietatile determinantilor. Calcularea determinantului prin regula triunghiului. Determinantul Vandermonde
1-Proprietatile determinantilor ; 2-Calcularea determinantului prin regula triunghiului ; 3-Determinantul Vandermonde

Determinanti - Teorie si Probleme 1

Ecuatia dreptei sub forma de determinant. Coliniaritate puncte. Aria triunghiului ABC. Sa se determine a real stiindu-se aria unui triunghi. Sa se determine matricea X stiindu-se patratul ei.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Problema 3

Sisteme de ecuatii - Teorie 1

Forma generala a unui sistem de n ecuatiii liniare cu m necunoscute. Matricea coeficientilor sistemului. Matricea extinsa. Sistem tip Cramer. Solutie sistem tip Cramer. Determinantul matricei sistemului. Exemplu.
1-Forma generala a unui sistem ; 2-Matricea coeficientilor unui sistem ; 3-Matricea extinsa ; 4-Sistem tip Cramer ; 5-Exemplu

Sisteme de ecuatii - Teorie 2

Sistem incompatibil. Sistem compatibil determinat. Sistem compatibil nedeterminat. Sistem omogen. Rangul unei matrice. Minorul de ordinul k al matricei A. Exemple.
1-Cateva proprietati ale sistemelor ; 2-Sistem omogen ; 3-Rangul unei matrice ; 4-Exemplu.

Sisteme de ecuatii - Teorie 3

Teorema Kronecker-Capelli. Teorema Rouche. Exemplu.
1-Teorema Kronecker-Capelli ; 2-Teorema Rouche

Sisteme de ecuatii - probleme 1

Sa se determine un coeficient necunoscut dintr-un sistem (stabilirea tipului sistemului).  
1-Problema 1

Sisteme de ecuatii - probleme 2

Pornind de la matricea unui sistem, sa se determine anumite relatii cu matricea respectiva.
1-Problema 1

Grupuri - Teorie 1

Lege de compozitie. Parte stabila. Exemple. Semigrup. Monoid. Grup. Exemple de grupuri. Morfism. Izomorfism.
1-Lege de compozitie ; 2-Parte stabila ; 3-Exemple ; 4-Semigrup ; 5-Monoid ; 6-Grup ; 7-Exemple de grupuri ; 8-Morfism ; 9-Izomorfism

Grupuri - Teorie 2

Problema cu exponentiala si logaritm aplicata pe grupuri. Subgrup. Exercitiu cu grup simetric de ordinul 3 (compunerea permutarilor).
1-Problema 1 ; 2-Subgrup ; 3-Exercitiu

Grupuri - Probleme 1

Pornind de la un grup finit sa se arate pe in orice linie si coloana orice element apare o data si numai o data. Pornind de la un grup comutativ, sa se arate ca un element x la puterea n este egal cu e. Pornind de la grupul aditiv al numerelor rationale si grupul multiplicativ al numerelor rationale pozitive, sa se arate ca nu pot fi izomorfe.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Problema 3

Grupuri - Probleme 2

Sa se arate ca G si legea de compozitie formeaza grup comutativ si ca o functie este izomorfism intre doua grupuri.
1-Problema 1

Grupuri - Probleme 3

Exercitiu cu grupuri cu functii trigonometrice.
1-Problema 1

Grupuri - Probleme 4

Pornind de la o lege de compozitie, sa se demonstreze ca este grup comutativ. Demonstrarea unui izomorfism.
1-Problema 1

Grupuri - Probleme 5

Problema 1: Sa se calculeze compunerea de n ori a legii dintr-un grup. Ecuatia compunerii de 5 ori egala cu x. Solutia ecuatiei compunerii de n ori a legii x. Problema 2: Pornind de la multimea de matrice de un anumit fel, sa se arate ce M si inmultirea este grup.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2

Grupuri - Probleme 6

Pornind de la doua multimi, sa se arate ca un grup si inmultirea este grup comutativ, iar cele 2 grupuri cu inmultimrea sunt izomorfism.   
1-Problema 1

Inele si corpuri - Teorie 1

Definitie inel. Inel comutativ. Exemple de inele. Divizori ai lui zero. Inel integru. Domeniu de integritate. Exemple.
1-Definitie inel ; 2-Inel comutativ ; 3-Exemple de inele ; 4-Divizori ai lui zero ; 5-Inel integru-domeniu de integritate

Inele si corpuri - Teorie 2

Definitie corp. Exemple de corpuri. Aplicatie. Axiome monoid.
1-Definitie corp ; 2-Exemple de corpuri ; 3-Aplicatie ; 4-Axiome monoid

Inele si corpuri - Teorie 3

Morfism de inele. Morfism de corpuri. Izomorfim de corpuri. Morfism de corpuri. Aplicatie.  
1-Morfisme de inele si corpuri ; 2-Izomorfism de inele ; 3-Morfism de inele ; 4-Izomorfism de corpuri ; 5-Aplicatie

Inele si corpuri - Probleme 1

Aplicatie care implica partea stabila, grupul comutativ, corpul, izomorfismul de corpuri

Inele si corpuri - Probleme 2

(continuare) Aplicatie care implica corpul, izomorfismul de corpuri

Polinoame - Teorie 1

Forma unui polinom. Coeficient dominant. Termen de rang n. Gradul polinomului. Exemplu. Polinoame egale. Exercitiu. Suma a doua polinoame. Gradul sumei. Produsul a doua polinoame. Gradul produsului. Proprietatile adunarii si inmultirii polinoamelor. Functia polinomiala. Exemplu.
1-Forma unui polinom ; 2-Exemplu ; 3-Polinoame egale ; 4-Exercitiu ; 5-Suma a doua polinoame ; 6-Proprietatile adunarii si inmultirii polinoamelor ; 7-Exemplu

Polinoame - Teorie 2

Impartirea cu rest a polinoamelor. Exemple. Tabla inmultirii (modulo x). Teorema restului. Schema lui Horner. Radacina polinomului f. Teorema factorului (a lui Bezou). Polinoame asociate in divizibilitate. Exemplu. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (f,g).    
1-Impartirea cu rest a polinoamelor ; 2-Exercitiul 1 ; 3-Exercitiul 2 ; 4-Teorema restului ; 5-Schema lui Horner ; 6-Teorema factorului (a lui Bezou) ; 7-Exercitiu

Polinoame - Teorie 3

Cel mai mare divizor comun. Polinoame prime intre ele. Algoritmul lui Euclid. Cel mai mic multiplu comun. Produsul dintre c.m.md.c si c.m.m.m.c. Polinoame ireductibile / reductibile. Proprietati. Exemple.
1-Cel mai mare divizor comun ; 2-Algoritmul lui Euclid ; 3-Cel mai mic multiplu comun ; 4-Polionoame ireductibile ; 5-Exercitiu.

Polinoame - Teorie 4

Problema poligoare ireductibile. Problema. Teorema fundamentala a algebrei (D’Alember-Gauss). Polinoame ireductibile peste R. Radacina multipla de ordinul r. Descompunerea unui polinom.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Teorema fundamentala a algebrei (D’Alember-Gauss) ; 4-Polinoame ireductibile peste R ; 5-Radacini multiple

Polinoame - Probleme 1

Sa se descompuna f in factori ireductibili peste Z, Q, R, C. Sa se descompuna in factori ireductibili peste Z 5. Sa se descopuna in factori peste R si C.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2 ; 3-Problema 3

Polinoame - Probleme 2

Sa se descopuna in factori. Sa se determine restul impartirii a doua polinoame.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2

Polinoame - Probleme 3

Relatiile intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete). Suma si produsul. Observatii. Sa se afle radacinile stiind o relatie dintre ele. Sa se determine anumite relatii intre radacini.
1-Relatiile intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete) ; 2-Observatii ; 3-Problema 1 ; 4-Problema 2

Radacini complexe ale polinoamelor - Teorie 1

Radacini complexe ale polinoamelor. Exemplu.
1-Radacini complexe ale polinoamelor ; 2-Problema

Radacini complexe ale polinoamelor - probleme 1

Sa se arate ca un polinom se divide cu un alt polinom (rezolvare cu radacini complexe). Sa se determine anumite relatii dintre radacini (complexe).
1-Problema 1 ; 2-Problema 2

Radacini complexe ale polinoamelor - probleme 2

Radacini ale polinoamelor cu coeficienti rationali. Numere patratice. Teorema. Exemple. Sa se arate ca f nu poate fi scris ca produs de 2 polinoame cu coeficienti rationali.
1-Radacini ale polinoamelor cu coeficienti rationali ; 2-Teorema ; 3-Problema

Radacini complexe ale polinoamelor - probleme 3

Sa se determine radacinile polinomului cu coeficienti intregi. Sa se determine radacinile unui polinom stiind ca acestea formeaza o progresie aritmetica.
1-Problema 1 ; 2-Problema 2

Ecuatii algebrice - Teorie 1

Problema polinoame. Definitie ecuatii algebrice. Ecuatii binome. Exemple. Ecuatii bipatrate. Exemple.
1-Problema polinoame ; 2-Ecuatii algebrice cu coeficienti numerici ; 3-Definitie ; 4-Ecuatii binome ; 5-Ecuatii bipatrate ; 6-Exemplu

Ecuatii reciproce - Teorie 1

Forma generala. Solutia generala pentru ecuatia reciproca de grad impar. Exemplu. Ecuatia reciproca de grad par.
1-Ecuatii reciproce ; 2-Ecuatii reciproce de grad impar ; 3-Ecuatii reciproce de grad par